530. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому точка \(O\) равноудалена от сторон, образующих каждый угол:

\(\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,AD)\), а \(\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)\).

Противоположные стороны ромба параллельны и находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей. Поэтому расстояния до всех четырёх сторон равны.

Что и требовалось доказать.