520. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\). Если бы все его углы были не тупыми, то каждый из них был бы не больше \(90^\circ\). Тогда их сумма была бы не больше \(4\cdot90^\circ=360^\circ\).

Равенство возможно только тогда, когда все четыре угла равны \(90^\circ\). По условию это не так, значит, хотя бы один угол больше \(90^\circ\), то есть является тупым.

Ответ: хотя бы один угол четырёхугольника тупой.