527. Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(B=(u,v)\). Так как \(M\) — середина \(BC\), то \(M=((u+1)/2,v/2)\). Точка \(K\) — середина \(AM\), поэтому \(K=((u+1)/4,v/4)\).

Точка пересечения прямой \(BK\) с осью \(AC\) получается при параметре \(\frac23\) от точки \(B\) к точке \(K\). Её координата по оси \(AC\) равна \(\frac13\).

Значит, \(AD=\frac13AC\).

Что и требовалось доказать.