5. Дано простое число p и такие целые числа a, b, c, d, e, что числа a2 − b, a3 − c, c5 − d, b7 − e делятся на p. Докажите, что и число ae − d делится на p.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Из условий следует, что по модулю p: b ≡ a², c ≡ a³, d ≡ c⁵ и e ≡ b⁷.

Тогда ae ≡ a · b⁷ ≡ a · (a²)⁷ = a¹⁵ (mod p).

Также d ≡ c⁵ ≡ (a³)⁵ = a¹⁵ (mod p). Значит, ae ≡ d (mod p), то есть ae − d делится на p.

5. Дано простое число p и такие целые числа a, b, c, d, e, что числа a<sup>2</sup> − b, a<sup>3</sup> − c, c<sup>5</sup> − d, b<sup>7</sup> − e делятся на p. Докажите, что и число ae − d делится на p.