3. Докажите без вычислений, что 1 · 2 · 3 · … · 9 + 10 · 11 · … · 17 · 18 делится на 19.

Рассмотрим выражение по модулю 19. В первом произведении стоят числа от 1 до 9. Во втором каждое число 10, 11, …, 18 сравнимо соответственно с −9, −8, …, −1 по модулю 19.

Поэтому второе произведение сравнимо с (−9)(−8) · … · (−1) = −(1 · 2 · … · 9), поскольку отрицательных множителей девять.

Слагаемые взаимно уничтожаются по модулю 19, значит их сумма делится на 19.