10. Докажите, что число 5⁷⁰ + 6⁷⁰ делится на 61.

Вычислим степени по модулю 61: 5⁵ ≡ 14 и 5¹⁰ ≡ 14² ≡ 13. Поэтому 5³⁰ ≡ 13³ ≡ 1, откуда 5⁷⁰ ≡ 5¹⁰ ≡ 13 (mod 61).

Также 6⁵ ≡ 29, поэтому 6¹⁰ ≡ 29² ≡ 48 (mod 61). По малой теореме Ферма 6⁶⁰ ≡ 1 (mod 61), следовательно, 6⁷⁰ ≡ 6¹⁰ ≡ 48.

Итак, 5⁷⁰ + 6⁷⁰ ≡ 13 + 48 = 61 ≡ 0 (mod 61). Следовательно, число делится на 61.