4.92. log_2 (x^2-4x+4) = 4

Решение:

1. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: \( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \)
2. Уравнение примет вид: \( \log_2 (x-2)^2 = 4 \)
3. Представим правую часть в виде логарифма: \( \log_2 (x-2)^2 = \log_2 2^4 \)
4. Приравняем аргументы логарифмов: \( (x-2)^2 = 16 \)
5. Извлечем корень из обеих частей: \( x-2 = \pm 4 \)
6. Рассмотрим два случая:
7. Случай 1: \( x-2 = 4 \) \( x = 4 + 2 \) \( x = 6 \)
8. Случай 2: \( x-2 = -4 \) \( x = -4 + 2 \) \( x = -2 \)
9. Проверим ОДЗ: \( (x-2)^2 > 0 \). Для \( x=6 \): \( (6-2)^2 = 4^2 = 16 > 0 \) (подходит). Для \( x=-2 \): \( (-2-2)^2 = (-4)^2 = 16 > 0 \) (подходит).

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -2.