4.109. log_4 ((3x+2)/(2x-7)) = -1

Решение:

1. Перейдем от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{3x+2}{2x-7} = 4^{-1} \)
2. \( \frac{3x+2}{2x-7} = \frac{1}{4} \)
3. Умножим обе части на \( 4(2x-7) \), учитывая, что \( x \ne 3.5 \): \( 4(3x+2) = 1(2x-7) \)
4. \( 12x+8 = 2x-7 \)
5. Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую: \( 12x-2x = -7-8 \)
6. \( 10x = -15 \)
7. \( x = \frac{-15}{10} \)
8. \( x = -1.5 \)
9. Проверим ОДЗ: \( \frac{3x+2}{2x-7} > 0 \). Для \( x=-1.5 \): \( \frac{3(-1.5)+2}{2(-1.5)-7} = \frac{-4.5+2}{-3-7} = \frac{-2.5}{-10} = 0.25 > 0 \) (подходит).

Ответ: x = -1.5.