4.90. log_{1/2} (x^2+4x-5) = -4

Решение:

1. Перейдем от логарифмического уравнения к показательному: \( x^2+4x-5 = (1/2)^{-4} \)
2. Вычислим правую часть: \( (1/2)^{-4} = 2^4 = 16 \)
3. Уравнение примет вид: \( x^2+4x-5 = 16 \)
4. Перенесем все в левую часть: \( x^2+4x-5-16 = 0 \)
5. \( x^2+4x-21 = 0 \)
6. Найдем дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)
7. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
8. \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
9. Проверим ОДЗ: \( x^2+4x-5 > 0 \). Для \( x=3 \): \( 9+12-5 = 16 > 0 \) (подходит). Для \( x=-7 \): \( 49-28-5 = 16 > 0 \) (подходит).

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -7.