4.91 log₁/₂(x²-5x+6) = -1

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_{\frac{1}{2}} (x^2-5x+6) = -1 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( x^2-5x+6 = (\frac{1}{2})^{-1} \).
3. Вычислим правую часть: \( (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2 \).
4. Получим квадратное уравнение: \( x^2-5x+6 = 2 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2-5x+4 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).
7. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \). \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).
8. Проверим условие существования логарифма \( x^2-5x+6 > 0 \):
• Для \( x=4 \): \( 4^2-5(4)+6 = 16-20+6 = 2 > 0 \). Условие выполнено.
• Для \( x=1 \): \( 1^2-5(1)+6 = 1-5+6 = 2 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 1.