4.109 log₄ (3x+2)/(2x-7) = -1

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_4 \frac{3x+2}{2x-7} = -1 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{3x+2}{2x-7} = 4^{-1} \).
3. Упростим: \( \frac{3x+2}{2x-7} = \frac{1}{4} \).
4. Перемножим крест-накрест (при условии \( 2x-7 \neq 0 \) и \( 4 \neq 0 \)): \( 4(3x+2) = 1(2x-7) \).
5. Раскроем скобки: \( 12x+8 = 2x-7 \).
6. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( 12x - 2x = -7 - 8 \) → \( 10x = -15 \).
7. Решим линейное уравнение: \( x = \frac{-15}{10} = -1.5 \).
8. Проверим условие существования логарифма \( \frac{3x+2}{2x-7} > 0 \) и \( 2x-7 \neq 0 \):
• Для \( x=-1.5 \): \( \frac{3(-1.5)+2}{2(-1.5)-7} = \frac{-4.5+2}{-3-7} = \frac{-2.5}{-10} = 0.25 > 0 \). Условие выполнено.
• \( 2(-1.5)-7 = -3-7 = -10 \neq 0 \).

Ответ: x = -1.5.