4.90 log₁/₂(x²+4x-5) = -4

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_{\frac{1}{2}} (x^2+4x-5) = -4 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( x^2+4x-5 = (\frac{1}{2})^{-4} \).
3. Вычислим правую часть: \( (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16 \).
4. Получим квадратное уравнение: \( x^2+4x-5 = 16 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2+4x-21 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \).
7. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \). \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2} = -7 \).
8. Проверим условие существования логарифма \( x^2+4x-5 > 0 \):
• Для \( x=3 \): \( 3^2+4(3)-5 = 9+12-5 = 16 > 0 \). Условие выполнено.
• Для \( x=-7 \): \( (-7)^2+4(-7)-5 = 49-28-5 = 16 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -7.