4.89 log₇ (x²-2x-8) = 1

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_7 (x^2-2x-8) = 1 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( x^2-2x-8 = 7^1 \).
3. Упростим: \( x^2-2x-8 = 7 \).
4. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2-2x-15 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \). \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \).
7. Проверим условие существования логарифма \( x^2-2x-8 > 0 \):
• Для \( x=5 \): \( 5^2-2(5)-8 = 25-10-8 = 7 > 0 \). Условие выполнено.
• Для \( x=-3 \): \( (-3)^2-2(-3)-8 = 9+6-8 = 7 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -3.