4.108 log₄ (4+2x)/(x-5) = 2

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_4 \frac{4+2x}{x-5} = 2 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{4+2x}{x-5} = 4^2 \).
3. Упростим: \( \frac{4+2x}{x-5} = 16 \).
4. Умножим обе части на \( x-5 \) (при условии \( x \neq 5 \)): \( 4+2x = 16(x-5) \).
5. Раскроем скобки: \( 4+2x = 16x - 80 \).
6. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( 4 + 80 = 16x - 2x \) → \( 84 = 14x \).
7. Решим линейное уравнение: \( x = \frac{84}{14} = 6 \).
8. Проверим условие существования логарифма \( \frac{4+2x}{x-5} > 0 \) и \( x \neq 5 \):
• Для \( x=6 \): \( \frac{4+2(6)}{6-5} = \frac{4+12}{1} = 16 > 0 \). Условие выполнено.
• \( x = 6 \neq 5 \).

Ответ: x = 6.