37. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=61°и BM=AM=MC.

Решение:

По условию BM = AM = MC. Это означает, что точка M равноудалена от вершин A, B и C.

Точка M является центром описанной окружности треугольника АВС.

Так как BM — медиана, проведенная к стороне AC, и BM = AM = MC, то треугольник АВС — прямоугольный, и угол ∠ABC = 90°.

Рассмотрим треугольник BMC. Так как BM = MC, он равнобедренный. Следовательно, ∠MBC = ∠MCB = ∠C = 61°.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Так как BM = AM, он равнобедренный. Угол ∠ABM = ∠ABC - ∠MBC = 90° - 61° = 29°.

В равнобедренном треугольнике ABM углы при основании AM равны, поэтому ∠BAM = ∠ABM = 29°.

Таким образом, ∠BAC = ∠BAM = 29°.

Ответ: 29.