13. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=5, DC=7. Площадь треугольника АВС равна 60. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABD и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к основанию AC.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \).

Пусть h — высота, проведенная из вершины B.

Тогда \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h \) и \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h \).

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times (AD + DC) \times h = \frac{1}{2} \times (5 + 7) \times h = \frac{1}{2} \times 12 \times h = 6h \).

Нам дано, что \( S_{ABC} = 60 \). Значит, \( 6h = 60 \), откуда \( h = 10 \).

Теперь найдем площадь треугольника ABD:

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = \frac{1}{2} \times 50 = 25 \).

Ответ: 25.