117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом α.

Решение:

а) В равносторонний треугольник:

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр. Площадь равностороннего треугольника \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \). Полупериметр \( p = \frac{3a}{2} \).

\( r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{\sqrt{3} a^2}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{\sqrt{3} a}{6} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12} \).

б) В прямоугольный треугольник:

Катет \( a \) противолежит углу \( \alpha \). Другой катет \( b = a \tan \alpha \). Гипотенуза \( c = \frac{a}{\sin \alpha} \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{a + a \tan \alpha - \frac{a}{\sin \alpha}}{2} = \frac{a(1 + \tan \alpha - \frac{1}{\sin \alpha})}{2} \).

Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a(1 + \tan \alpha - \frac{1}{\sin \alpha})}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2 (1 + \tan \alpha - \frac{1}{\sin \alpha})^2}{4} \).

в) В равнобедренный треугольник:

Боковая сторона \( a \), угол \( \alpha \) противолежит основанию. Основание \( b = 2a \sin \frac{\alpha}{2} \). Высота \( h = a \cos \frac{\alpha}{2} \).

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (2a \sin \frac{\alpha}{2}) (a \cos \frac{\alpha}{2}) = a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \).

Полупериметр \( p = \frac{a+a+b}{2} = \frac{2a + 2a \sin \frac{\alpha}{2}}{2} = a(1 + \sin \frac{\alpha}{2}) \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin \alpha}{a(1 + \sin \frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sin \alpha}{2(1 + \sin \frac{\alpha}{2})} \).

Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sin \alpha}{2(1 + \sin \frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2 \alpha}{4(1 + \sin \frac{\alpha}{2})^2} \).

г) В равнобедренную трапецию:

Большее основание \( a \), острый угол \( \alpha \). Пусть меньшее основание \( b \).

Высота \( h = \frac{a-b}{2} \tan \alpha \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{a-b}{4} \tan \alpha \). Для вписанной окружности \( a+b = 2c \), где \( c \) — боковая сторона. \( c = \frac{a-b}{2 \cos \alpha} \).

\( a+b = 2 \frac{a-b}{2 \cos \alpha} \) => \( (a+b) \cos \alpha = a-b \) => \( a \cos \alpha + b \cos \alpha = a-b \) => \( b(\cos \alpha + 1) = a(1 - \cos \alpha) \) => \( b = a \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = a \tan^2 \frac{\alpha}{2} \).

\( h = \frac{a - a \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{2} \tan \alpha \). \( r = \frac{h}{2} = \frac{a(1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2})}{4} \tan \alpha \).
Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a(1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2})}{4} \tan \alpha\right)^2 = \frac{\pi a^2 (1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2})^2 \tan^2 \alpha}{16} \).

Ответ: а) \( \frac{\pi a^2}{12} \); б) \( \frac{\pi a^2 (1 + \tan \alpha - \frac{1}{\sin \alpha})^2}{4} \); в) \( \frac{\pi a^2 \sin^2 \alpha}{4(1 + \sin \frac{\alpha}{2})^2} \); г) \( \frac{\pi a^2 (1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2})^2 \tan^2 \alpha}{16} \).