116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и в; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию.

Решение:

а) Около прямоугольника:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. \( D = \sqrt{a^2 + b^2} \). Радиус \( R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \). Площадь круга \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} \).

б) Около прямоугольного треугольника:

Диаметр описанной окружности равен гипотенузе треугольника. Гипотенуза \( c \) находится как \( c = \frac{a}{\sin \alpha} \). Радиус \( R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 \sin \alpha} \). Площадь круга \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \).

в) Около равнобедренного треугольника:

Радиус описанной окружности \( R \) можно найти по формуле \( R = \frac{abc}{4S_{тр}} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( S_{тр} \) — площадь треугольника. Площадь треугольника \( S_{тр} = \frac{1}{2} a h \).

Для нахождения боковой стороны \( b \) равнобедренного треугольника: \( b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} \). \( b = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \).

Тогда \( R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4 \cdot \frac{1}{2} a h} = \frac{a b^2}{2ah} = \frac{b^2}{2h} \). Подставляем \( b^2 \): \( R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h} \). Площадь круга \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4h^2 + a^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2} \).

Ответ: а) \( \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} \); б) \( \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \); в) \( \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2} \).