1123 Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

Решение:

Круг с радиусом \( r \) имеет площадь \( S_{круга} = \pi r^2 \).

Окружность, ограничивающая круг, имеет радиус \( r \). Квадрат, вписанный в эту окружность, имеет диагональ, равную диаметру окружности, то есть \( 2r \).

Пусть сторона квадрата равна \( a \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и его диагональю: \( a^2 + a^2 = (2r)^2 \).

\( 2a^2 = 4r^2 \).

\( a^2 = 2r^2 \).

Площадь квадрата \( S_{квадрата} = a^2 = 2r^2 \).

Площадь оставшейся части круга равна площади круга минус площадь квадрата:

\( S_{оставшаяся} = S_{круга} - S_{квадрата} = \pi r^2 - 2r^2 = r^2 (\pi - 2) \).

Ответ: Площадь оставшейся части круга равна \( r^2 (\pi - 2) \).