11. В треугольнике АВС известно, что AB=8, BC =10, AC=12. Найдите cos∠ABC.

Решение:

Для нахождения косинуса угла треугольника воспользуемся теоремой косинусов:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)

где \( a \) — сторона, противолежащая углу \( \alpha \); \( b \) и \( c \) — две другие стороны.

В нашем случае ищем \( \cos B \). Сторона, противолежащая углу B, — это AC.

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \)

Подставим известные значения:

\( 12^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos B \)

\( 144 = 64 + 100 - 160 \cdot \cos B \)

\( 144 = 164 - 160 \cdot \cos B \)

Перенесем 164 в левую часть:

\( 144 - 164 = -160 \cdot \cos B \)

\( -20 = -160 \cdot \cos B \)

Найдем \( \cos B \):

\( \cos B = \frac{-20}{-160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8} \)

Ответ: \( \cos B = \frac{1}{8} \)