10. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 6√2. Найдите АС.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)

где \( a, b, c \) — стороны, противолежащие углам \( \alpha, \beta, \gamma \) соответственно.

В нашем случае:

• \( \angle A = 45^{\circ} \), противолежащая сторона \( BC = a = 6\sqrt{2} \)
• \( \angle B = 30^{\circ} \), противолежащая сторона \( AC = b \)

Запишем отношение для сторон \( a \) и \( b \):

\( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} \)

Известно, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

\( \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} \)

\( 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot 2 \)

\( 6 \cdot 2 = 2 \cdot AC \)

\( 12 = 2 \cdot AC \)

\( AC = \frac{12}{2} = 6 \)

Ответ: \( AC = 6 \)