Задача 20 Дано: \(\angle 2 - \angle 1 = 38^{\circ}\) (рис. 5.18). Найти: \(\angle 3, \angle 4\).

Решение:

Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, значит, \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\).

Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — вертикальные, значит, \(\angle 3 = \angle 4\).

Углы \(\angle 1\) и \(\angle 4\) — смежные, значит, \(\angle 1 + \angle 4 = 180^{\circ}\).

Углы \(\angle 2\) и \(\angle 3\) — смежные, значит, \(\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}\).

1. Из условия \(\angle 2 - \angle 1 = 38^{\circ}\).
2. \(\angle 2 = \angle 1 + 38^{\circ}\).
3. Подставим во второе уравнение: \(\angle 1 + (\angle 1 + 38^{\circ}) = 180^{\circ}\).
4. \(2\angle 1 + 38^{\circ} = 180^{\circ}\).
5. \(2\angle 1 = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}\).
6. \(\angle 1 = \frac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ}\).
7. \(\angle 2 = 180^{\circ} - 71^{\circ} = 109^{\circ}\).
8. \(\angle 4\) и \(\angle 1\) — смежные, поэтому \(\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 71^{\circ} = 109^{\circ}\).
9. \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — вертикальные, поэтому \(\angle 3 = \angle 4 = 109^{\circ}\).
10. Проверка: \(\angle 2 - \angle 1 = 109^{\circ} - 71^{\circ} = 38^{\circ}\). Условие выполнено.

Ответ: \(\angle 3 = 109^{\circ}, \angle 4 = 109^{\circ}\).