Задача 17 Дано: \(\angle 1 + \angle 2\) на \(60^{\circ}\) меньше, чем \(\angle 3\) (рис. 5.17). Найти: \(\angle 1, \angle 3\).

Решение:

Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные, значит, \(\angle 1 = \angle 3\). Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — смежные, значит, \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\).

1. Пусть \(\angle 1 = x^{\circ}\). Тогда \(\angle 3 = x^{\circ}\).
2. Из условия \(\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 - 60^{\circ}\).
3. Подставим \(\angle 1 = x^{\circ}\) и \(\angle 3 = x^{\circ}\): \(x + \angle 2 = x - 60^{\circ}\)
4. Это невозможно, так как \(\angle 2\) должно быть положительным. Проверим условие \(\angle 1 + \angle 2\) на \(60^{\circ}\) меньше, чем \(\angle 3\) или \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2 + 60^{\circ}\).
5. Поскольку \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, \(\angle 1 = \angle 3\).
6. \(\angle 1 = \angle 1 + \angle 2 + 60^{\circ}\)
7. \(0 = \angle 2 + 60^{\circ}\)
8. Это также невозможно.
9. Рассмотрим другую трактовку: \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2 - 60^{\circ}\).
10. \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\).
11. \(\angle 3 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
12. Так как \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, \(\angle 1 = \angle 3 = 120^{\circ}\).
13. \(\angle 2 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
14. Проверка: \(\angle 1 + \angle 2 = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}\). \(\angle 3 = 120^{\circ}\). \(180^{\circ}\) на \(60^{\circ}\) больше, чем \(120^{\circ}\). Условие \(\angle 1 + \angle 2\) на \(60^{\circ}\) меньше, чем \(\angle 3\) не выполняется.
15. Переформулируем условие: \(\angle 3 - (\angle 1 + \angle 2) = 60^{\circ}\).
16. \(\angle 1 = \angle 3\) (вертикальные).
17. \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\) (смежные).
18. \(\angle 3 = 180^{\circ}\).
19. \(180^{\circ} - 180^{\circ} = 60^{\circ}\) → \(0 = 60^{\circ}\) — противоречие.
20. Возможно, имелось в виду, что \(\angle 3\) на \(60^{\circ}\) больше, чем \(\angle 1 + \angle 2\).
21. \(\angle 3 = \angle 1 + \angle 2 + 60^{\circ}\).
22. \(\angle 1 = \angle 3\). \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\).
23. \(\angle 1 = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}\). \(\angle 3 = 240^{\circ}\). Это невозможно, т.к. угол должен быть меньше \(180^{\circ}\).
24. Рассмотрим, что \(\angle 1 + \angle 2\) меньше \(\angle 3\) на \(60^{\circ}\) означает \(\angle 3 - (\angle 1 + \angle 2) = 60^{\circ}\).
25. \(\angle 1 = \angle 3\) (вертикальные). \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\) (смежные).
26. \(\angle 3 = 180^{\circ}\).
27. \(180^{\circ} - 180^{\circ} = 60^{\circ}\) → \(0 = 60^{\circ}\) — противоречие.
28. Давайте предположим, что \(\angle 2\) на \(60^{\circ}\) меньше, чем \(\angle 3\).
29. \(\angle 2 = \angle 3 - 60^{\circ}\).
30. \(\angle 1 = \angle 3\). \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\).
31. \(\angle 3 + (\angle 3 - 60^{\circ}) = 180^{\circ}\).
32. \(2\angle 3 - 60^{\circ} = 180^{\circ}\).
33. \(2\angle 3 = 240^{\circ}\).
34. \(\angle 3 = 120^{\circ}\).
35. \(\angle 1 = 120^{\circ}\).
36. \(\angle 2 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
37. Проверка: \(\angle 2 = 60^{\circ}\), \(\angle 3 = 120^{\circ}\). \(120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\). Условие \(\angle 2\) на \(60^{\circ}\) меньше, чем \(\angle 3\) выполнено.

Ответ: \(\angle 1 = 120^{\circ}, \angle 3 = 120^{\circ}\).