1. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

В остроугольном равнобедренном треугольнике АВС высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС, пересекаются в точке М. Угол ВМС равен 140°. Необходимо найти углы треугольника АВС.

Решение:

1. Угол ВМС является внешним углом треугольника АМВ1 (где В1 - точка пересечения высоты, опущенной из вершины В, со стороной АС). Следовательно, углы ВМВ1 и СМВ1 смежные и в сумме составляют 180°. $$∠ВМВ1 = 180° - ∠ВМС = 180° - 140° = 40°$$
2. Рассмотрим четырехугольник АВ1МС1, где С1 - точка пересечения высоты, опущенной из вершины С, со стороной АВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы В1АС1 (угол А), АВ1М и АС1М равны 90°, так как ВВ1 и СС1 - высоты. Тогда: $$∠А = 360° - ∠АВ1М - ∠АС1М - ∠ВМС = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°$$
3. Так как треугольник АВС равнобедренный и угол А является углом при вершине, углы при основании (углы В и С) равны. Сумма углов треугольника равна 180°: $$∠В + ∠С = 180° - ∠А = 180° - 40° = 140°$$ $$∠В = ∠С = \frac{140°}{2} = 70°$$
4. Итак, углы треугольника АВС равны: $$∠А = 40°$$ $$∠В = 70°$$ $$∠С = 70°$$

Ответ: ∠А = 40°, ∠В = 70°, ∠С = 70°