Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите сторону основания пирамиды.

Краткое пояснение:

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на основание, которая является радиусом вписанной окружности. Этот угол равен 60°.

Решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h = 4 см), апофемой боковой грани (l) и радиусом вписанной окружности основания (r).
2. Шаг 2: Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. В этом треугольнике высота (h) — противолежащий катет к углу 60°, а радиус вписанной окружности (r) — прилежащий катет.
3. Шаг 3: Используем тангенс угла: \( \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{r} \).
4. \( \sqrt{3} = \frac{4}{r} \)
5. \( r = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см.
6. Шаг 4: Для правильной четырёхугольной пирамиды основание — квадрат. Радиус вписанной окружности (r) равен половине стороны основания (a/2).
7. \( r = \frac{a}{2} \)
8. Шаг 5: Найдем сторону основания: \( \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{2} \).
9. \( a = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 2 \)
10. \( a = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$ см