Апофема правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите сторону основания пирамиды.

Краткое пояснение:

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой грани и радиусом вписанной окружности основания. Этот угол равен 60°.

Решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой пирамиды (l = 12 см), высотой пирамиды (h) и радиусом вписанной окружности основания (r).
2. Шаг 2: Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. В этом прямоугольном треугольнике апофема (l) — гипотенуза, радиус вписанной окружности (r) — прилежащий катет к углу 60°, а высота (h) — противолежащий катет.
3. Шаг 3: Используем косинус угла: \( \cos(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \).
4. \( \frac{1}{2} = \frac{r}{12} \)
5. \( r = \frac{12}{2} = 6 \) см.
6. Шаг 4: Для правильной треугольной пирамиды радиус вписанной окружности (r) и сторона основания (a) связаны соотношением \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
7. Шаг 5: Найдем сторону основания: \( 6 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
8. \( a = 6 \cdot 2\sqrt{3} \)
9. \( a = 12\sqrt{3} \) см.

Ответ: $$12\sqrt{3}$$ см