Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 45°, а боковое ребро — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Краткое пояснение:

Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды — это угол между двумя боковыми ребрами, исходящими из одной вершины. Для нахождения площади боковой поверхности нужно определить сторону основания и апофему.

Решение:

1. Шаг 1: В правильной шестиугольной пирамиде основание — правильный шестиугольник. Плоский угол при вершине равен 45°. Боковое ребро \( b = 4 \) см.
2. Шаг 2: Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя боковыми ребрами и стороной основания. Плоский угол при вершине — угол между боковыми ребрами.
3. Шаг 3: По теореме косинусов найдем сторону основания (a): \( a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(45^{\circ}) \)
4. \( a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
5. \( a^2 = 16 + 16 - 16\sqrt{2} \)
6. \( a^2 = 32 - 16\sqrt{2} \)
7. \( a = \sqrt{32 - 16\sqrt{2}} \) см.
8. Шаг 4: Апофему (l) можно найти, проведя высоту в равнобедренном треугольнике грани. Эта высота делит плоский угол пополам.
9. \( \sin(45^{\circ}/2) = \frac{a/2}{b} \)
10. \( \sin(22.5^{\circ}) = \frac{a/2}{4} \)
11. \( a/2 = 4 \sin(22.5^{\circ}) \)
12. \( a = 8 \sin(22.5^{\circ}) \) см.
13. Шаг 5: Апофема \( l = b \cos(22.5^{\circ}) = 4 \cos(22.5^{\circ}) \) см.
14. Шаг 6: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) — периметр основания.
15. \( P = 6 \cdot a = 6 \cdot 8 \sin(22.5^{\circ}) = 48 \sin(22.5^{\circ}) \) см.
16. \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \sin(22.5^{\circ}) \cdot 4 \cos(22.5^{\circ}) \)
17. \( S_{бок} = 96 \sin(22.5^{\circ}) \cos(22.5^{\circ}) \)
18. Используя формулу двойного угла \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \), имеем:
19. \( S_{бок} = 48 \cdot (2 \sin(22.5^{\circ}) \cos(22.5^{\circ})) \)
20. \( S_{бок} = 48 \sin(45^{\circ}) \)
21. \( S_{бок} = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
22. \( S_{бок} = 24\sqrt{2} \) см².

Ответ: $$24\sqrt{2}$$ см²