Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол 45°.

Краткое пояснение:

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на основание. В правильной четырёхугольной пирамиде проекцией бокового ребра является радиус описанной окружности основания.

Решение:

1. Шаг 1: Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 4 \) см. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).
2. \( d = 4\sqrt{2} \) см.
3. Шаг 2: Радиус описанной окружности квадрата (R) равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
4. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (b), высотой пирамиды (h) и радиусом описанной окружности (R). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°.
5. Шаг 4: В этом треугольнике радиус (R) является прилежащим катетом к углу 45°, а боковое ребро (b) — гипотенузой. Используем косинус угла: \( \cos(45^{\circ}) = \frac{R}{b} \).
6. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{b} \)
7. \( b = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} \)
8. \( b = 4 \) см.

Ответ: 4 см