Вариант 2 №4. Найти значение выражения 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2)

Краткое пояснение:

Для нахождения значения выражения необходимо рационализировать знаменатели каждой дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, а затем выполнить сложение полученных выражений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рационализируем первый знаменатель: \( \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}-1 \).
2. Шаг 2: Рационализируем второй знаменатель: \( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \).
3. Шаг 3: Рационализируем третий знаменатель: \( \frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Складываем полученные выражения: \( (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3}) \).
5. Шаг 5: Приводим подобные слагаемые: \( \sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1+2 = 1 \).

Ответ: 1