Вариант 1 №4. Найти значение выражения 1/(2-√3) + 1/(√3-√2) + 1/(√2-1)

Краткое пояснение:

Для нахождения значения выражения необходимо рационализировать знаменатели каждой дроби, приведя их к виду \( a^2 - b^2 \), а затем выполнить сложение полученных выражений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рационализируем первый знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( 2+\sqrt{3} \): \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \).
2. Шаг 2: Рационализируем второй знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \): \( \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
3. Шаг 3: Рационализируем третий знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2}+1 \): \( \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1 \).
4. Шаг 4: Складываем полученные выражения: \( (2+\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1) \).
5. Шаг 5: Приводим подобные слагаемые: \( 2+1+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \).

Ответ: 3 + 2√2 + 2√3