Вариант 2. №4. Найти значение выражения 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем первую дробь.
   \( \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1+\sqrt{2} \)
2. Шаг 2: Упрощаем вторую дробь.
   \( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}+\sqrt{3} \)
3. Шаг 3: Упрощаем третью дробь.
   \( \frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{1}{\sqrt{3}+2} \cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} = -\sqrt{3}+2 \)
4. Шаг 4: Складываем упрощенные дроби.
   \( (-1+\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}+2) \)
5. Шаг 5: Группируем и складываем подобные члены.
   \( -1 + 2 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 1 \)

Ответ: 1