В 4. Интервал сходимости степенного ряда Σ (n+2)х" n-3" имеет вид...

Разбираемся:

Шаг 1: Применим признак Д’Аламбера:

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3)x^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}} \cdot \frac{n \cdot 3^n}{(n+2)x^n} \right|\] \[= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3)n}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \right|\] \[= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3)n}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{1}{3} \cdot x \right|\] \[= \frac{|x|}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n}{n^2 + 3n + 2} = \frac{|x|}{3}\]

Шаг 2: Условие сходимости: \(\frac{|x|}{3} < 1\), следовательно, \(|x| < 3\), то есть \(-3 < x < 3\).

Шаг 3: Проверяем концы интервала:

• x = 3: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n}\) расходится.
• x = -3: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)(-1)^n}{n}\) расходится.

Ответ: (-3, 3)