8. Тип 15 № 323344 Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Дано: площадь прямоугольного треугольника 32√3, один из острых углов равен 30°

Найти: длину гипотенузы

Решение:

Пусть один катет равен a, а другой b. Тогда площадь треугольника равна:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Известно, что один из углов равен 30°. Тогда:

\[tg(30°) = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Выразим a через b:

\[a = \frac{b}{\sqrt{3}}\]

Подставим в формулу площади:

\[32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot b\] \[64\sqrt{3} = \frac{b^2}{\sqrt{3}}\] \[b^2 = 64 \cdot 3 = 192\] \[b = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\]

Найдем a:

\[a = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\]

Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16\]

Ответ: 16

Проверка за 10 секунд: Если S = 32√3 и угол 30°, то катеты 8 и 8√3, а гипотенуза 16.

Доп. профит: Зная гипотенузу и углы, можно найти и другие элементы треугольника.