2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $$v$$. Тогда при движении по течению его скорость равна $$v + 5$$, а против течения – $$v - 5$$. Время движения по течению равно $$\frac{216}{v+5}$$, а против течения – $$\frac{216}{v-5}$$. Общее время в пути составляет 23 часа, из которых 5 часов – стоянка. Получаем уравнение:

$$\frac{216}{v+5} + \frac{216}{v-5} + 5 = 23$$

$$\frac{216}{v+5} + \frac{216}{v-5} = 18$$

$$216(v-5) + 216(v+5) = 18(v^2 - 25)$$ $$216v - 1080 + 216v + 1080 = 18v^2 - 450$$ $$432v = 18v^2 - 450$$ $$18v^2 - 432v - 450 = 0$$ $$v^2 - 24v - 25 = 0$$

По теореме Виета:

$$v_1 + v_2 = 24$$

$$v_1 \cdot v_2 = -25$$

Корни: $$v_1 = 25$$ и $$v_2 = -1$$.

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость теплохода равна 25 км/ч.

Ответ: 25