4 Решить уравнение: 1) log5 (3x + 1) = 2; 2) log3 (x + 2) + log3 x = 1; 3) ln (x²-6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3).

1) $$log_5 (3x + 1) = 2$$

$$3x + 1 = 5^2$$

$$3x + 1 = 25$$

$$3x = 24$$

$$x = 8$$

Проверка: $$log_5 (3 \cdot 8 + 1) = log_5 25 = log_5 5^2 = 2log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2$$.

Ответ: $$x = 8$$.

2) $$log_3 (x + 2) + log_3 x = 1$$

$$log_3 ((x + 2) \cdot x) = 1$$

$$x^2 + 2x = 3^1$$

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим корни:

$$x = 1$$: $$log_3 (1 + 2) + log_3 1 = log_3 3 + 0 = 1 + 0 = 1$$.

$$x = -3$$: $$log_3 (-3 + 2) + log_3 (-3)$$ - не имеет смысла.

Ответ: $$x = 1$$.

3) $$ln (x^2-6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)$$.

$$ln (x^2-6x + 9) = ln (3(x + 3))$$

$$x^2-6x + 9 = 3x + 9$$

$$x^2-9x = 0$$

$$x(x-9) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 9$$

Проверим корни:

$$x = 0$$: $$ln (0^2-6 \cdot 0 + 9) = ln 3 + ln (0 + 3)$$; $$ln 9 = ln 3 + ln 3$$.

$$ln 9 = ln 9$$ - верно.

$$x = 9$$: $$ln (9^2-6 \cdot 9 + 9) = ln 3 + ln (9 + 3)$$; $$ln (81 - 54 + 9) = ln 3 + ln 12$$.

$$ln 36 = ln 36$$ - верно.

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 9$$.