383 1) lg (x² + 2x + 2) < 1;

Решим неравенство:

$$lg(x^2+2x+2) < 1$$

ОДЗ: $$x^2+2x+2 > 0$$.

Выражение $$x^2+2x+2$$ можно представить в виде $$(x+1)^2+1$$, которое всегда больше нуля, следовательно, ОДЗ: $$x \in R$$.

Преобразуем неравенство:

$$lg(x^2+2x+2) < lg(10)$$;

$$x^2+2x+2 < 10$$;

$$x^2+2x-8 < 0$$;

Решим квадратное уравнение $$x^2+2x-8 = 0$$.

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$.

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$.

Следовательно, $$x^2+2x-8 = (x-2)(x+4)$$.

Решим неравенство $$(x-2)(x+4) < 0$$ методом интервалов.

На числовой прямой отметим корни уравнения: -4 и 2. Расставим знаки на интервалах:

+        -        +
----(-4)----(2)---->

Выбираем интервал, где выражение меньше нуля.

$$x \in (-4; 2)$$.

Ответ: $$x \in (-4; 2)$$.