Прямые а и в параллельны. Докажите, что середины трезков ХҮ, где Хеа, Yєв, лежат на прямой, параллель рямым а и ви равноудалённой от этих прямых.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Рассмотрим множество отрезков XY, где точка X лежит на прямой a, а точка Y лежит на прямой b.
Докажем, что середины всех таких отрезков лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

• Возьмём два произвольных отрезка X₁Y₁ и X₂Y₂, где X₁ и X₂ лежат на прямой a, а Y₁ и Y₂ лежат на прямой b.
• Обозначим середины этих отрезков как M₁ и M₂ соответственно.
• Проведём прямую через точки M₁ и M₂. Наша задача - доказать, что эта прямая параллельна прямым a и b и равноудалена от них.
• Опустим перпендикуляры из точек X₁, M₁, M₂, Y₁, Y₂ на некоторую прямую, перпендикулярную прямым a и b.
• Так как M₁ и M₂ - середины отрезков, то расстояния от них до прямых a и b будут равны половине расстояния между этими прямыми.
• Следовательно, прямая, проходящая через точки M₁ и M₂, будет параллельна прямым a и b и равноудалена от них.