На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взят точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, чт CM высота треугольника АВС.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка M лежит на основании AB и равноудалена от боковых сторон AC и BC.
Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точки M на AC и BC, равны. Обозначим эти перпендикуляры как MD и ME соответственно, где D лежит на AC, а E лежит на BC. Тогда MD = ME.
Докажем, что CM — высота треугольника ABC, то есть CM перпендикулярна AB.

• Рассмотрим прямоугольные треугольники CDM и CEM. У них:
• MD = ME (по условию).
• CM — общая сторона.
• Следовательно, треугольники CDM и CEM равны по катету и гипотенузе.
• Из равенства треугольников следует равенство углов ∠DCM = ∠ECM.
• Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то ∠CAB = ∠CBA.
• Так как ∠DCM = ∠ECM, то CM — биссектриса угла C.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой.
• Следовательно, CM — высота треугольника ABC.