Докажите, что все точки плоскости, расположенные по од сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат прямой, параллельной данной.

Пусть дана прямая a и расстояние d. Рассмотрим множество точек, расположенных по одну сторону от прямой a и равноудалённых от неё на расстояние d.
Докажем, что все эти точки лежат на прямой, параллельной прямой a.

• Возьмем две произвольные точки A и B из этого множества. Опустим из этих точек перпендикуляры AC и BD на прямую a. Тогда AC = BD = d.
• Так как AC и BD перпендикулярны прямой a, то они параллельны друг другу.
• Рассмотрим четырёхугольник ACBD. В нём AC = BD и AC || BD. Следовательно, этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Так как углы C и D прямые, то параллелограмм ACBD является прямоугольником.
• Следовательно, углы CAB и DBA также прямые, то есть AB перпендикулярна AC и BD.
• Таким образом, прямая AB параллельна прямой a, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой.
• Все точки, равноудалённые от прямой a на расстояние d и расположенные по одну сторону от неё, лежат на прямой, параллельной a и отстоящей от неё на расстояние d.