201. При каком значении n значения выражений n², 2n + 3, 3n + 4 и n² + n + 7 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Разбираемся:

Для того чтобы четыре числа были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между соседними членами должна быть одинаковой.

Пошаговое решение:

• (2n + 3) - n² = (3n + 4) - (2n + 3)
• 2n + 3 - n² = 3n + 4 - 2n - 3
• 2n + 3 - n² = n + 1
• n² - n - 2 = 0
• D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
• n₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2
• n₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1 (не подходит, так как члены прогрессии должны быть последовательными)

Проверим второе равенство:

• (3n + 4) - (2n + 3) = (n² + n + 7) - (3n + 4)
• 3n + 4 - 2n - 3 = n² + n + 7 - 3n - 4
• n + 1 = n² - 2n + 3
• n² - 3n + 2 = 0
• (n - 2)(n - 1) = 0
• n = 2 или n = 1

При n = 2, члены прогрессии: 2² = 4, 2 * 2 + 3 = 7, 3 * 2 + 4 = 10, 2² + 2 + 7 = 13. Прогрессия: 4, 7, 10, 13.

При n = 1: 1, 5, 7, 9

Ответ: При n = 2 прогрессия 4, 7, 10, 13. При n = 1 прогрессия 1, 5, 7, 9.