Постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства: y=(x-2)(x+4)

Решение:

Данная функция является квадратичной: \( y = (x-2)(x+4) \).

1. Преобразуем функцию к стандартному виду:

\( y = x^2 + 4x - 2x - 8 \)

\( y = x^2 + 2x - 8 \)

2. Свойства функции:

• Область определения: \( (-\infty; +\infty) \) (все действительные числа).
• Область значений: \( y \ge y_в \).
• График: парабола, ветви направлены вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \), что больше нуля).
• Вершина параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot 1} = -1 \).
• \( y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \).
• Вершина в точке \( (-1; -9) \).
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox):
• \( (x-2)(x+4) = 0 \)
• \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -4 \).
• Точка пересечения с осью Oy:
• При \( x=0 \): \( y = (0-2)(0+4) = -2 \cdot 4 = -8 \). Точка \( (0; -8) \).
• Ось симметрии: \( x = -1 \).

3. Построение графика:

Ответ: График — парабола с вершиной в точке (-1; -9), нулями в точках (-4; 0) и (2; 0), пересекающая ось Oy в точке (0; -8). Ветви параболы направлены вверх.