13.27. Одна бочка заполнена водой, а другая – керосином. Диаметр какой бочки больше, если известно, что уровень и масса обеих жидкостей одинаковы?

Для решения задачи необходимо учесть плотности воды и керосина.

Плотность воды примерно 1000 кг/м³, а плотность керосина примерно 800 кг/м³.

Поскольку масса обеих жидкостей одинакова, то $$ m_{\text{воды}} = m_{\text{керосина}} $$.

Масса выражается как $$ m = \rho \cdot V $$, где $$ \rho $$ - плотность, $$ V $$ - объем.

$$ \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} = \rho_{\text{керосина}} \cdot V_{\text{керосина}} $$

Поскольку уровень жидкостей одинаков, то высота цилиндрических бочек $$ h $$ одинакова, а объем $$ V = S \cdot h $$, где $$ S $$ - площадь основания, $$ h $$ - высота (уровень).

Площадь основания круга $$ S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4} $$, где $$ r $$ - радиус, $$ d $$ - диаметр.

$$ \rho_{\text{воды}} \cdot \frac{\pi \cdot d_{\text{воды}}^2}{4} \cdot h = \rho_{\text{керосина}} \cdot \frac{\pi \cdot d_{\text{керосина}}^2}{4} \cdot h $$

Сокращаем одинаковые величины: $$ \rho_{\text{воды}} \cdot d_{\text{воды}}^2 = \rho_{\text{керосина}} \cdot d_{\text{керосина}}^2 $$

$$ d_{\text{воды}}^2 = \frac{\rho_{\text{керосина}}}{\rho_{\text{воды}}} \cdot d_{\text{керосина}}^2 $$

$$ d_{\text{воды}} = \sqrt{\frac{\rho_{\text{керосина}}}{\rho_{\text{воды}}}} \cdot d_{\text{керосина}} $$

Так как плотность керосина меньше плотности воды, то: $$ \frac{\rho_{\text{керосина}}}{\rho_{\text{воды}}} < 1 $$, следовательно, $$ \sqrt{\frac{\rho_{\text{керосина}}}{\rho_{\text{воды}}}} < 1 $$, и $$ d_{\text{воды}} < d_{\text{керосина}} $$.

Ответ: Диаметр бочки с керосином больше, чем диаметр бочки с водой.