4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = 1/4x² и прямая y = 5x-16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{4}x^2$$ и прямая $$y = 5x - 16$$. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. Приравняем уравнения: $$\frac{1}{4}x^2 = 5x - 16$$ $$x^2 = 20x - 64$$ $$x^2 - 20x + 64 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$$ $$x_{1,2} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 12}{2}$$ $$x_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$x_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Подставим значения x в уравнение прямой: $$y_1 = 5 \cdot 16 - 16 = 80 - 16 = 64$$ $$y_2 = 5 \cdot 4 - 16 = 20 - 16 = 4$$ Следовательно, точки пересечения: $$(16; 64)$$ и $$(4; 4)$$. <p><strong>Ответ: Парабола и прямая пересекаются в точках $$(16; 64)$$ и $$(4; 4)$$.</strong></p>