1°. Постройте график функции y = x²-6x+5. Найдите: a) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = -1; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, на котором функция возрастает.

1°. Постройте график функции $$y = x^2 - 6x + 5$$. Найдите: a) значение y при $$x = 0.5$$. Подставим значение x в уравнение: $$y = (0.5)^2 - 6(0.5) + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25$$ <p><strong>Ответ: y = 2.25</strong></p> б) значения x, при которых $$y = -1$$. Подставим значение y в уравнение: $$-1 = x^2 - 6x + 5$$ $$x^2 - 6x + 6 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 36 - 24 = 12$$ $$x_{1,2} = rac{-(-6) pm sqrt{12}}{2 cdot 1} = rac{6 pm 2sqrt{3}}{2} = 3 pm sqrt{3}$$ $$x_1 = 3 + sqrt{3} \approx 4.73$$ $$x_2 = 3 - sqrt{3} \approx 1.27$$ <p><strong>Ответ: $$x_1 = 3 + \sqrt{3}$$, $$x_2 = 3 - \sqrt{3}$$</strong></p> в) нули функции; промежутки, в которых $$y > 0$$ и в которых $$y < 0$$. Для нахождения нулей функции решим уравнение $$x^2 - 6x + 5 = 0$$. $$D = (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 5 = 36 - 20 = 16$$ $$x_{1,2} = rac{-(-6) pm sqrt{16}}{2 cdot 1} = rac{6 pm 4}{2}$$ $$x_1 = rac{6 + 4}{2} = 5$$ $$x_2 = rac{6 - 4}{2} = 1$$ Нули функции: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = 1$$. Определим промежутки, где $$y > 0$$ и $$y < 0$$. Парабола имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный. Следовательно: * $$y > 0$$ при $$x < 1$$ и $$x > 5$$. * $$y < 0$$ при $$1 < x < 5$$. <p><strong>Ответ: нули функции $$x_1 = 5$$, $$x_2 = 1$$. $$y > 0$$ при $$x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$$. $$y < 0$$ при $$x \in (1; 5)$$.</strong></p> г) промежуток, на котором функция возрастает. Вершина параболы имеет координату $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 cdot 1} = 3$$. Функция возрастает на промежутке от вершины параболы до $$+\infty$$. <p><strong>Ответ: Функция возрастает на промежутке $$x \in (3; +\infty)$$.</strong></p>