879 Найти производную функции (879—881). 1) y = cos² 3x; 2) y = sin x cos x + x; 3) y = (x³ + 1) cos 2x; 4) y = sin²x; 5) y = (x + 1) √x²; 3 6) y = √x−1 (x - 1).

Найдем производную функции \( y = \cos^2 3x \):

\[ y' = 2 \cos 3x \cdot (\cos 3x)' = 2 \cos 3x \cdot (-3 \sin 3x) = -6 \cos 3x \sin 3x \]

Найдем производную функции \( y = \sin x \cos x + x \):

\[ y' = (\sin x \cos x + x)' = (\sin x \cos x)' + 1 = (\frac{1}{2} \sin 2x)' + 1 = \cos 2x + 1 \]

Найдем производную функции \( y = (x^3 + 1) \cos 2x \):

\[ y' = (x^3 + 1)' \cos 2x + (x^3 + 1) (\cos 2x)' = 3x^2 \cos 2x - 2(x^3 + 1) \sin 2x \]

Найдем производную функции \( y = \sin^2 \frac{x}{2} \):

\[ y' = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} \right)' = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x \]

Найдем производную функции \( y = (x + 1) \sqrt[3]{x^2} \):

\[y' = (x + 1)' \sqrt[3]{x^2} + (x + 1) (\sqrt[3]{x^2})' = \sqrt[3]{x^2} + (x + 1) \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2(x + 1)}{3\sqrt[3]{x}} \]

Найдем производную функции \( y = \sqrt[3]{x - 1} (x - 1) \):

\[y' = (\sqrt[3]{x - 1})'(x - 1) + \sqrt[3]{x - 1} (x - 1)' = \frac{1}{3}(x - 1)^{-\frac{2}{3}} (x - 1) + \sqrt[3]{x - 1} = \frac{x - 1}{3(x - 1)^{\frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{x - 1} = \frac{x-1+3(x-1)}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{5x-4}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}\]