10. Найдите, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения x² + ах + 2a = 0 равна 5.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения $$x^2 + ax + 2a = 0$$. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -a$$ $$x_1 \cdot x_2 = 2a$$ По условию, $$x_1^2 + x_2^2 = 5$$ Выразим $$x_1^2 + x_2^2$$ через $$x_1 + x_2$$ и $$x_1 x_2$$: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$ Тогда $$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$$ $$(-a)^2 - 2(2a) = 5$$ $$a^2 - 4a - 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Ответ: $$a_1 = 5, a_2 = -1$$