345. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М: a) f (x) = 4x +, M (-1; 4);

Для нахождения первообразной функции f(x) = 4x + 1/x², проходящей через точку M(-1; 4), нужно сначала найти общий вид первообразной, а затем использовать координаты точки M для определения константы C.

Первообразная функции f(x) = 4x + 1/x² имеет вид:

$$\int (4x + \frac{1}{x^2}) dx = \int 4x dx + \int x^{-2} dx$$

Интегрируем каждый член по отдельности:

1. $$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1$$
2. $$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$$

Складываем полученные результаты:

$$2x^2 - \frac{1}{x} + C$$

Общий вид первообразной функции:

$$F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$$

Теперь используем координаты точки M(-1; 4) для определения константы C:

$$F(-1) = 2(-1)^2 - \frac{1}{(-1)} + C = 4$$

$$2(1) + 1 + C = 4$$

$$3 + C = 4$$

$$C = 1$$

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку M(-1; 4):

$$F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$$

Ответ: $$F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$$