6) f (x) = x3 + 2, M (2; 15);

Для нахождения первообразной функции f(x) = x³ + 2, проходящей через точку M(2; 15), нужно сначала найти общий вид первообразной, а затем использовать координаты точки M для определения константы C.

Первообразная функции f(x) = x³ + 2 имеет вид:

$$\int (x^3 + 2) dx = \int x^3 dx + \int 2 dx$$

Интегрируем каждый член по отдельности:

1. $$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1$$
2. $$\int 2 dx = 2x + C_2$$

Складываем полученные результаты:

$$\frac{x^4}{4} + 2x + C$$

Общий вид первообразной функции:

$$F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + C$$

Теперь используем координаты точки M(2; 15) для определения константы C:

$$F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C = 15$$

$$\frac{16}{4} + 4 + C = 15$$

$$4 + 4 + C = 15$$

$$8 + C = 15$$

$$C = 7$$

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку M(2; 15):

$$F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$$

Ответ: $$F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$$