8. Народная дружина состоит из 101 человек. Каждый день они дежурят по трое. Может ли в некоторый момент оказаться, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

Пошаговое решение:

1. Если каждый дежурил с каждым ровно один раз, тогда количество пар в дружине, в которых каждый дежурил с каждым, должно быть равно количеству всех возможных дежурств.
2. Общее число способов выбрать 2 человек из 101: \[ C(101, 2) = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050 \]
3. Каждый день дежурят трое, то есть в каждый день образуется 3 пары.
4. Пусть всего было x дежурств. Тогда \[ 3x = 5050 \]
5. Вычислим x: \[ x = \frac{5050}{3} = 1683.333... \]
6. Так как число дежурств должно быть целым, то невозможно, чтобы каждый дежурил с каждым ровно один раз.

Ответ: Нет, не может.