9. Даны три 100-значных числа, в записи каждого из которых встречаются только единицы и двойки. Докажите, что среди этих чисел найдутся два таких, в записи суммы которых не больше 66 троек.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим три 100-значных числа, состоящих только из единиц и двоек. Обозначим их как A, B, и C.
2. Если сложить два числа, состоящие только из единиц и двоек, то в результате получатся только числа 2, 3 и 4.
3. Если сумма двух чисел не больше 66 троек, то это означает, что в записи результата не больше 66 цифр 3.
4. Предположим, что в каждой паре (A+B), (B+C) и (A+C) больше 66 троек.
5. Возьмем остаток от деления суммы на 2. Тогда получим числа, состоящие только из нулей и единиц.
6. Число различных чисел, состоящих из 100 цифр, которые являются 0 или 1, конечно.